最近上班没事，就在网上做题耍，当然我做我比较喜欢的几何，在网上看到一些关于非欧氏几何的信息，果断转载，大家研究研究，分享分享。
欧氏几何与球面几何的区别与联系
比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别
|
欧氏几何 |
球面几何 |
直线 |
过两点有唯一一条直线 |
过两个非对径点有唯一一条直线（大圆） |
直线可以无限延伸 |
大圆是封闭的、有限的 |
|
角的含义 |
两直线的交角 |
两个大圆在交点处切线的交角（即两个大圆所在平面的二面角的平面角） |
两点间距离含义 |
连结它们的直线段长度 |
过两点的大圆中的劣弧弧长 |
三角形内角和 |
等于180° |
大于180° |
三角形面积 |
底边长乘高线长的一半 |
S△ABC=A+B+C-π，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制） |
三角形全等条件 |
SSS，SAS，ASA |
SSS，SAS，ASA，AAA |
相似性 |
存在不全等的相似三角形 |
同球面或等球面上没有相似三角形，不存在相似概念 |
平行性 |
过直线外一点有且只有一条直线与之平行 |
任意两条直线必相交于两点；没有平行的概念 |
勾股定理 |
c2=a2+b2 |
cosc=cosacosb |
余弦定理 |
c2=a2+b2-2abcosC |
cosa=cosb cosc+sinb sinc cosA |
正弦定理 |
sin A/a=sin B/b=(sin C)/c |
(sin A)/sina=sinB/sinb=sinC/sinc |
通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。 球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征,如下表
|
欧氏几何 |
球面上的几何 |
直线 |
都是两点间距离最短的道路 |
|
三角形的性质 |
大边对大角，大角对大边； 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 |
|
三角形全等的条件 |
SSS，SAS，ASA |
|
两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。 首先分析一下球面三角形的面积公式S=(∠A+∠B+∠C-π)R2 把这个公式改写成∠A+∠B+∠C-π=S/R2 这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。 在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。 在球面上的几何中角超大于零。 不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，S/R2越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。所以我们可以说：
当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。
因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。
另一种非欧几何
通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。当三角形的三个内角之和等于π时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于π时，就反映出球面几何的主要特征。
有没有三角形三个内角之和小于π的几何呢？
我们简单回顾一段几何发展史。在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。但是到了十七、十八世纪，数学家在对几何理论的基础进行深入研究时，首先把注意力集中在"平行公理"上。
[1p]平行公理是这样叙述的：在平面上，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线不相交(如图1p)。
人们没有怀疑这条公理的真伪，而是感到这条公理涉及到无穷的概念，不够直观，人们希望能够证明它，或者用一条更简单、更直观的公理代替它。
在探索过程中，人们证明了平行公理与"三角形内角和等于"是等价的。即可以用"三角形内角和等于"来代替平行公理。当然，这没有什么实质意义，因为它并不比平行公理简单多少。
在经过漫长的研究历程和许多数学家的失败与挫折之后，俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky,1793-1856）认识到"平行公理"是不可能证明的。如果用一条与"平行公理"对立的命题来替换"平行公理"，将会得到一种新的几何理论。这个命题最后被称为"罗氏平行公理"。
[2p]罗氏平行公理是这样叙述的：
在平面上，过直线AB外一点C，可以做无穷多条直线与AB不相交（如图2p）。
罗巴切夫斯基用这条罗氏平行公理代替了原来的欧氏平行公理，同时，保留欧氏几何中其他所有公理，在此基础上，推导出了一套几何理论。虽然这种几何理论中有许多看似荒谬的不符合人类实际经验的结论，但是在逻辑上这套理论却是无矛盾的。后人就把这种几何理论称为罗氏几何。这也是人们最早发现的非欧几何。
在罗氏平面几何中，过已知直线AB外一点C有无穷多条直线与已知直线AB不相交。当然还有无穷多条直线与已知直线AB相交。因此存在两条界限直线b和，界于交与不交两类直线之间。这两条直线称为直线AB的平行线。过点C的其它与AB不相交的直线称为AB的离散线。
[3p]
[4p]
[5p]
[6p]罗巴切夫斯基证明了：
两条平行线，在一侧无限接近，而在另一侧无限远离（如图3p）；
三角形的三个内角之和小于（如图4p）；
存在边长无限而内角和为零的三角形（如图5p）；
罗巴切夫斯基在世时，由于罗氏几何的结论与人类的直觉不一致，当时并没有被大多数数学家接受。1868年意大利数学家贝尔特拉米（Beltrami，1835-1900）找到了一种称为伪球面的像两朵喇叭花形状的旋转曲面（如图6p）。在这种曲面的一片区域上，他发现三角形的三个内角之和小于。这等价于这种曲面上可以建立罗氏几何。这相当于给罗氏几何找到了一种有实际意义的模型。
[8p]这里的圆C是在一个非平面内的圆，你可以把这相圆想像成一个大的长西瓜顶部的一个圆后来，法国数学家庞加莱（Poincare,1854-1912）构造出罗氏几何的另一个模型，这种模型有助于对罗氏几何的直观理解。具体模型如下：设C是一圆，D是C的内部，如图7p所示。
（1）庞加莱模型中的点是D中的点，称为"罗氏点"；
（2）庞加莱模型中，过点A、B的"直线"l是过点A、B的圆在D内的那部分圆弧。其中是和C在交点处垂直的圆，即在交点E、F处分别作两个圆的切线，它们相互垂直。图7p 当A、B在C的直径上时，过点A、B的"直线"即是该直径。
若D中两条"直线"（即上述圆弧）相交于圆C上，称这两条直线平行；若D中两条直线不相交时，称这两条直线离散（如图8p）。
[8p]根据平面几何的知识，可以得到以下结果（图9p）：
[9p]这些图都可以看成一个长西瓜（也可以看成一个未闭合的球，有一面有开口，无限延伸的一个曲面）从顶部向下看，上观的线就是切下去的线(1)经过两个罗氏点，有唯一的罗氏直线；
(2)罗氏平行公理成立：在平面上，过直线AB外一点C，可以做无穷多条直线与AB不相交。
(3)三角形的三个内角之和小于。
庞加莱的模型说明罗氏几何可以在欧氏平面的一个开圆盘上实现。因此，只要欧氏几何是无矛盾的，罗氏几何也就是无矛盾的。有了贝尔特拉米和庞加莱等人的模型后，罗氏几何逐渐被人们真正接受，成为一种典型的非欧几何。
比较欧氏几何与非欧几何的性质，我们可以总结出以下显著的差别：
|
欧氏几何 |
罗氏几何 |
直线 |
过两点有唯一一条直线 |
过两点有唯一一条直线（垂直单位园的圆弧或单位园的直径） |
直线可以无限延伸 |
||
直线夹角的含义 |
两直线的交角 |
两圆弧在交点处切线的交角 |
两点间距离含义 |
连结它们的直线段长度 |
|
三角形内角和 |
等于180° |
小于180° |
三角形面积 |
底边长乘高线长的一半 |
|
合同性（全等条件） |
SSS，SAS，ASA |
SSS，SAS，ASA |
相似性 |
存在不全等的相似三角形 |
同圆盘或等圆盘上没有相似三角形 |
平行性 |
平面上，过直线外一点有且只有一条直线与之平行 |
圆盘上，过直线外一点有无穷多直线与之不相交 |
勾股定理 |
|
|
余弦定理 |
|
|
正弦定理 |
|
|
其中， |
||
，其中C、D为圆弧
的延长线与单位圆的交点
，其中A、B、C为三角形的三个内角（弧度制）
分别叫做双曲正弦、双曲余弦、双曲正切和双曲余切，
罗氏几何的发现有着重要的理论意义。它打破了欧氏几何对人类认识的束缚，使人们认识到除了欧氏几何以外，还可以有其它的几何。为了实际问题的需要，完全可以把原本不属于几何范畴的问题，通过一种适当的解释，转化为几何问题。再根据它所遵循的基本规律，建立起一套新的几何理论。于是就构造出一种新的几何。正是在这种思想指导下，在现代数学中，才有了多种多样的几何理论。
学习非欧几何的意义
1．通过学习球面几何与罗氏几何，使我们看到"几何学"并不是欧氏几何的一统天下。虽然欧氏几何在我们的日常生活、生产实践与科学试验中有着广泛的应用，但是在某些领域或某种场合欧氏几何并不适用。例如在地球上要测量相距较远的两地之间的距离，或者较大范围的面积时，用欧氏几何的知识会产生很大的误差，而用球面几何的知识才能真实地反映出客观现实。所以，非欧几何往往也有很重要的实际应用价值，也是我们应该学习的重要理论。
2．历史上，从罗氏几何产生以来，逐步地把人们的思想从欧氏几何的束缚中解放出来。特别是使一些科学家认识到，为了解决某一类实际问题（虽然这些问题并不属于几何范畴），也可以仿照几何中的办法，建立起一个空间和一套几何理论，来适应解决这一类问题的需要。于是，人们对"几何"的理解大大扩展了。正是这种思想促使数学科学获得了长足发展，使得在现在数学中出现了多种多样的几何理论，它们各自有着不同的应用范围。这种思想也逐渐形成了数学理论发展的一种模式。
3．非欧几何的出现还自然而然地引发出一个问题：我们的宇宙到底是一种什么样的空间？它适用什么样的几何理论？人类对宇宙的探索从来没有停止过。长期以来，人们一直把宇宙空间简单地理解为三维欧氏空间。但是从非欧几何产生后，人们开始有了怀疑。直到二十世纪初，一些天文学家、物理学家经过反复观测与研究，证实了"光线在通过大质量星球时会产生弯曲"。在宇宙中只有光线才能代表直线，而光线又是弯曲的。这很像球面几何中只有大圆才能代表直线，而大圆是弯曲的。由此可以断定宇宙中应该适用一种非欧几何。爱因斯坦的广义相对论，也是建立在这样一种几何之上来描述宇宙的。这种几何一般称为黎曼几何。探索大自然的奇妙是全人类共同的神圣任务，而要成为一个探索者，必学掌握丰富的科学知识。
这个应该是什么教材里的，网络上很少，我就转过了来，有点不道得给个传送门传送
2011-10-19